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!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=real_function
!set gl_title=Convexit
!set gl_level=H6 ES L
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<div class="wims_defn">
<h4>Dfinition</h4>
Le plan est muni d'un repre orthogonal \((O;\vec{i},\vec{j})\).
Soit \(I\) un intervalle de \(\ \RR) et soit \(f\) une fonction drivable sur l'intervalle \(I\).
On note \(C\) la courbe reprsentative de la fonction \(f\) dans le repre \((O;\vec{i},\vec{j})\)
La fonction \(f\) est dite <span class="wims_emph">convexe sur \(I\)</span> si et seulement si sa courbe reprsentative
\(C\) est entirement situe au-dessus de chacune de ses tangentes.
La fonction \(f\) est dite <span class="wims_emph">concave sur \(I\)</span>
si et seulement si sa courbe reprsentative
\(C\) est entirement situe en dessous de chacune de ses tangentes.
</div>
<div class="wims_rem">
<h4>Remarque</h4>
Une fonction qui n'est pas convexe sur \(I\) n'est pas ncessairement concave sur \(I\).
</div>
<div class="wims_thm">
<h4>Thorme</h4>
Soit \(I\) un intervalle de \(\RR) et soit \(f\) une fonction drivable sur l'intervalle \(I\).
La fonction \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si sa fonction drive \(f'\) est croissante sur I.
La fonction \(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si sa fonction drive \(f'\) est dcroissante sur I.
</div>

<div class="wims_thm">
<h4>Thorme</h4>
 Soit \(I\) un intervalle de \(\ \RR) et soit \(f\) une fonction deux fois drivable sur l'intervalle \(I\).
La fonction \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si sa fonction drive seconde \(f''\) est positive sur \(I\).
La fonction \(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si sa fonction drive seconde \(f''\) est ngative sur \(I\).
</div>
:mathematics/analysis/fr/convexity_1
