!!abstract,linked gloses,internal links,content,dynamic examples,...
!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=
!set gl_title=Coordonnes d'un vecteur de l'espace
:
:
:
:
L'espace est suppos muni d'un repre
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mi fontstyle='normal'>O</mi>
     <mo>,</mo>
     <mover>
      <mi>i</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
     </mover>
     <mo>,</mo>
     <mover>
      <mi>j</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
     </mover>
       <mo>,</mo>
     <mover>
      <mi>k</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
     </mover>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>.
<div class="wims_thm"><h4>Thorme</h4>
Soit
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mover>
    <mi>v</mi>
     <mo>&#8594;</mo>
   </mover>
  </math>
 un vecteur de l'espace. <br/>
Il existe un unique triplet
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
      <mi>x</mi>
      <mo>;</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo>;</mo>
      <mi>z</mi>
      <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>
 de nombres rels tel que :
   <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mover>
    <mi>v</mi>
     <mo>&#8594;</mo>
   </mover>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mover>
       <mi>i</mi>
        <mo>&#8594;</mo>
      </mover>
     </mrow>
     <mo>+</mo>
     <mrow>
      <mi>y</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mover>
       <mi>j</mi>
        <mo>&#8594;</mo>
      </mover>
     </mrow>
     <mo>+</mo>
     <mrow>
      <mi>z</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mover>
       <mi>k</mi>
        <mo>&#8594;</mo>
      </mover>
     </mrow>
    </mrow>
   </mrow>
  </math>.
</div>
<div class="wims_defn">
<h4>Dfinitions</h4>
Soit
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mover>
    <mi>v</mi>
     <mo>&#8594;</mo>
   </mover>
  </math>
 un vecteur de l'espace. <br/>
Les rels uniques \(x\), \(y\) et \(z\) tels que
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mover>
    <mi>v</mi>
     <mo>&#8594;</mo>
   </mover>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mover>
       <mi>i</mi>
        <mo>&#8594;</mo>
      </mover>
     </mrow>
     <mo>+</mo>
     <mrow>
      <mi>y</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mover>
       <mi>j</mi>
        <mo>&#8594;</mo>
      </mover>
     </mrow>
     <mo>+</mo>
     <mrow>
      <mi>z</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mover>
       <mi>k</mi>
        <mo>&#8594;</mo>
      </mover>
     </mrow>
    </mrow>
   </mrow>
  </math>
sont les <strong>coordonnes</strong> du vecteur
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mover>
    <mi>v</mi>
     <mo>&#8594;</mo>
   </mover>
  </math>
 dans le repre
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mi fontstyle='normal'>O</mi>
     <mo>,</mo>
     <mover>
      <mi>i</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
     </mover>
     <mo>,</mo>
     <mover>
      <mi>j</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
     </mover>
     <mo>,</mo>
     <mover>
      <mi>k</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
     </mover>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>.<br/>
\(x\) est l'<strong>abscisse</strong>, \(y\) est l'<strong>ordonne</strong>, \(z\) est la <strong>cote</strong> du vecteur
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mover>
    <mi>v</mi>
     <mo>&#8594;</mo>
   </mover>
  </math>
 dans le repre
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mi fontstyle='normal'>O</mi>
     <mo>,</mo>
     <mover>
      <mi>i</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
     </mover>
     <mo>,</mo>
     <mover>
      <mi>j</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
     </mover>
     <mo>,</mo>
     <mover>
      <mi>k</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
     </mover>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>.

</div>
<div class="wims_thm">
<h4>Proprits</h4>
<ul>
<li>Si A et B sont deux points de coordonnes respectives
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <msub>
      <mi>x</mi>
      <mi fontstyle='normal'>A</mi>
     </msub>
     <mo>;</mo>
     <msub>
      <mi>y</mi>
      <mi fontstyle='normal'>A</mi>
     </msub>
     <mo>;</mo>
     <msub>
      <mi>z</mi>
      <mi fontstyle='normal'>A</mi>
     </msub>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math> et
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <msub>
      <mi>x</mi>
      <mi fontstyle='normal'>B</mi>
     </msub>
     <mo>;</mo>
     <msub>
      <mi>y</mi>
      <mi fontstyle='normal'>B</mi>
     </msub>
     <mo>;</mo>
     <msub>
      <mi>z</mi>
      <mi fontstyle='normal'>B</mi>
     </msub>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>, alors le vecteur
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mover>
    <mi>AB</mi>
     <mo>&#8594;</mo>
   </mover>
  </math>
a pour coordonnes
    <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mrow>
      <msub>
       <mi>x</mi>
       <mi fontstyle='normal'>B</mi>
      </msub>
      <mo>-</mo>
      <msub>
       <mi>x</mi>
       <mi fontstyle='normal'>A</mi>
      </msub>
     </mrow>
     <mo>;</mo>
     <mrow>
      <msub>
       <mi>y</mi>
       <mi fontstyle='normal'>B</mi>
      </msub>
      <mo>-</mo>
      <msub>
       <mi>y</mi>
       <mi fontstyle='normal'>A</mi>
      </msub>
     </mrow>
       <mo>;</mo>
     <mrow>
      <msub>
       <mi>z</mi>
       <mi fontstyle='normal'>B</mi>
      </msub>
      <mo>-</mo>
      <msub>
       <mi>z</mi>
       <mi fontstyle='normal'>A</mi>
      </msub>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>.</li>
<li>Si
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mover>
    <mi>u</mi>
     <mo>&#8594;</mo>
   </mover>
  </math> et <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mover>
    <mi>v</mi>
     <mo>&#8594;</mo>
   </mover>
  </math>
sont deux vecteurs de coordonnes respectives
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
     <mo>;</mo>
     <mi>y</mi>
     <mo>;</mo>
     <mi>z</mi>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>
 et
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
      <mo>&apos;</mo>
     </mrow>
     <mo>;</mo>
     <mrow>
      <mi>y</mi>
      <mo>&apos;</mo>
     </mrow>
    <mo>;</mo>
     <mrow>
      <mi>z</mi>
      <mo>&apos;</mo>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>, alors le vecteur
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mover>
     <mi>u</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
    </mover>
    <mo>+</mo>
    <mover>
     <mi>v</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
    </mover>
   </mrow>
  </math>
a pour coordonnes
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
     <mrow>
      <mi>x</mi>
      <mo>+</mo>
      <mrow>
       <mi>x</mi>
       <mo>&apos;</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mo>;</mo>
     <mrow>
      <mi>y</mi>
      <mo>+</mo>
      <mrow>
       <mi>y</mi>
       <mo>&apos;</mo>
      </mrow>
      <mo>;</mo>
     <mrow>
      <mi>z</mi>
      <mo>+</mo>
      <mrow>
       <mi>z</mi>
       <mo>&apos;</mo>
      </mrow>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>.</li>
<li>Si
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mover>
    <mi>v</mi>
     <mo>&#8594;</mo>
   </mover>
  </math>
est un vecteur de coordonnes
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
      <mi>x</mi>
     <mo>;</mo>
      <mi>y</mi>
      <mo>;</mo>
      <mi>z</mi>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>
et \(k\) un nombre rel, alors le vecteur
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mi>k</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mover>
     <mi>v</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
    </mover>
   </mrow>
  </math>
a pour coordonnes
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mrow>
      <mi>k</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mi>x</mi>
     </mrow>
     <mo>;</mo>
     <mrow>
      <mi>k</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mi>y</mi>
     </mrow>
     <mo>;</mo>
     <mrow>
      <mi>k</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mi>z</mi>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>.</li>
</ul>
</div>

